Altın Oran

Matematik ve sanatta, bir bütünün parçaları arasında gözlemlenen, uyum açısından en yetkin boyutları verdiği sanılan geometrik ve sayısal bir oran bağıntısıdır.

Eski Mısırlılar ve Yunanlılar tarafından keşfedilmiş, mimaride ve sanatta kullanılmıştır.

Altın Oran; CB / AC = AB / CB = 1.618; bu oranın değeri her ölçü için 1.618 dir.

Bir doğru parçasının (AB) Altın Oran'a uygun biçimde iki parçaya bölünmesi gerektiğinde, bu doğru öyle bir noktadan (C) bölünmelidir ki; küçük parçanın (AC) büyük parçaya (CB) oranı, büyük parçanın (CB) bütün doğruya (AB) oranına eşit olsun.

Altın Oran, pi (π) gibi irrasyonel bir sayıdır ve ondalık sistemde yazılışı; 1.618033988749894...'tür. (noktadan sonraki ilk 15 basamak). Bu oranın kısaca gösterimi: olur. Altın Oranın ifade edilmesi için kullanılan sembol, Fi yani Φ'dir
Tarihçe Altın Oran, matematikte ve fiziksel evrende ezelden beri var olmasına rağmen , insanlar tarafından ne zaman keşfedildiğine ve kullanılmaya başlandığına dair kesin bir bilgi mevcut değildir. Tarih boyunca birçok defa yeniden keşfedilmiş olma olasılığı kuvvetlidir.

Leonardo da Vinci'nin günlüklerinin birinde bulunan, insan ve doğayı birbiriyle ilgilendirme-bütünleştirme çalışması için bir dönüm noktası kabul edilen ve insan vücudundaki oranları gösteren Vitruvius Adamı çalışması (1492).

Euclid (M.Ö. 365 – M.Ö. 300), "Elementler" adlı tezinde, bir doğruyu 0.6180339... noktasından bölmekten bahsetmiş ve bunu, bir doğruyu ekstrem ve önemli oranda bölmek diye adlandırmıştır. Mısırlılar keops Piramidi'nin tasarımında hem pi hem de phi oranını kullanmışlardır. Yunanlılar, Parthenon'un tüm tasarımını Altın Oran'a dayandırmışlardır. Bu oran, ünlü Yunanlı heykeltraş Phidias tarafından da kullanılmıştır. Leonardo Fibonacci adındaki İtalyan matematikçi, adıyla anılan nümerik serinin olağanüstü özelliklerini keşfetmiştir fakat bunun Altın Oran ile ilişkisini kavrayıp kavramadığı bilinmemektedir. Leonardo da Vinci, 1509'da Luca Pacioli'nin yayımladığı İlahi Oran adlı bir çalışmasına resimler vermiştir. Bu kitapta Leonardo Leonardo da Vinci tarafından yapılmış Five Platonic Solids (Beş Platonik Cisim) adlı resimler bulunmaktadır. Bunlar, bir küp, bir Tetrahedron, bir Dodekahedron, bir Oktahedron ve bir Ikosahedronun resimleridir. Altın Oran'ın Latince karşılığını ilk kullanan muhtemelen Leonardo da Vinci 'dir. Rönesans sanatçıları Altın Oran'ı tablolarında ve heykellerinde denge ve güzelliği elde etmek amacıyla sıklıkla kullanmışlardır. Örneğin Leonardo da Vinci, Son Yemek adlı tablosunda, İsa'nın ve havarilerin oturduğu masanın boyutlarından, arkadaki duvar ve pencerelere kadar Altın Oran'ı uygulamıştır. Güneş etrafındaki gezegenlerin yörüngelerinin eliptik yapısını keşfeden Johannes Kepler (1571-1630), Altın Oran'ı şu şekilde belirtmiştir: "Geometrinin iki büyük hazinesi vardır; biri Pythagoras'ın teoremi, diğeri, bir doğrunun Altın Oran'a göre bölünmesidir." Bu oranı göstermek için, Parthenon'un mimarı ve bu oranı resmen kullandığı bilinen ilk kişi olan Phidias'a ithafen, 1900'lerde Yunan alfabesindeki Phi harfini Amerika'lı matematikçi Mark Barr kullanmıştır. Aynı zamanda Yunan alfabesindekine karşılık gelen F harfi de, Fibonacci'nin ilk harfidir.
Altın Oran, bir sayının insanlık, bilim ve sanat tarihinde oynadığı inanılmaz bir roldür. Phi, evren ve yaşamı anlama konusunda bizlere yeni kapılar açmaya devam etmektedir. 1970'lerde Roger Penrose, o güne kadar imkânsız olduğu düşünülen, "yüzeylerin beşli simetri ile katlanması"nı Altın Oran sayesinde bulmuştur

Altın Oran'ın Oluşumu

Altın Oran'ın Oluşumu
Altın Oran'ı anlatmanın en iyi yollarından biri, işe bir kare ile başlamaktır.

Bir kareyi tam ortasından iki eşit dikdörtgen oluşturacak şekilde ikiye bölelim.

Dikdörtgenlerin ortak kenarının, karenin tabanını kestiği noktaya pergelimizi koyalım. Pergelimizi öyle açalım ki, çizeceğimiz daire, karenin karşı köşesine değsin, yani yarı çapı, bir dikdörtgenin köşegeni olsun.

Sonra, karenin tabanını, çizdiğimiz daireyle kesişene kadar uzatalım.

Yeni çıkan şekli bir dikdörtgene tamamladığımızda, karenin yanında yeni bir dikdörtgen elde etmiş olacağız.

İşte bu yeni dikdörtgenin taban uzunluğunun (B) karenin taban uzunluğuna (A) oranı Altın Oran'dır. Karenin taban uzunluğunun (A) büyük dikdörtgenin taban uzunluğuna (C) oranı da Altın Oran'dır. A / B = 1.6180339 = Altın Oran C / A = 1.6180339 = Altın Oran

Elde ettiğimiz bu dikdörtgen ise, bir Altın Dikdörtgen'dir. Çünkü uzun kenarının, kısa kenarına oranı 1.618 dir, yani Altın Oran'dır.

Artık bu dikdörtgenden her bir kare çıkardığımızda elimizde kalan, bir Altın Dikdörtgen olacaktır.

İçinden defalarca kareler çıkardığımız bu Altın Dikdörtgen'in karelerinin kenar uzunluklarını yarıçap alan bir çember parçasını her karenin içine çizersek, bir Altın Spiral elde ederiz. Altın Spiral, birçok canlı ve cansız varlığın biçimini ve yapı taşını oluşturur. Buna örnek olarak Ayçiçeği bitkisini gösterebiliriz. Ayçiçeğinin çekirdekleri altın oranı takip eden bir spiral oluşturacak şekilde dizilirler.

Bu karelerin kenar uzunlukları sırasıyla Fibonacci sayılarını verir.

Beş Kenarlı Simetri

Beş Kenarlı Simetri
PHI'yi göstermenin bir yolu da, basit bir beşgen kullanmaktır. Yani, birbiriyle beş eşit açı oluşturarak birleşen beş kenar. Basitçe PHI, herhangi bir köşegenin herhangi bir kenara oranıdır.

AC / AB = 1,618 = PHIBeşgenin içine ikinci bir köşegen ([BD]) çizelim. AC ve BD birbirlerini O noktasında keseceklerdir.Böylece her iki çizgi de, bir noktadan ikiye bölünmüş olacaktır ve her parça diğeriyle PHI oranı ilişkisi içindedir. Yani AO / OC =Phi, AC / AO = Phi, DO / OB = Phi, BD / DO = Phi. Bir diğeri ile bölünen her köşegende, aynı oran tekrarlanacaktır.

Bütün köşegenleri çizdiğimiz zaman ise, beş köşeli bir yıldız elde ederiz.Bu yıldızın içinde, ters duran diğer bir beşgen meydana gelir (yeşil). Her köşegen, başka iki köşegen tarafından kesilmiştir ve her bölüm, daha büyük bölümlerle ve bütünle, PHI oranını korur. Böylece, içteki ters beşgen, dıştaki beşgenle de PHI oranındadır.

Bir beşgenin içindeki beş köşeli yıldız, Pentagram diye adlandırılır ve Pythagoras'ın kurduğu antik Yunan Matematik Okulu'nun sembolüdür. Eski gizemciler PHI'yi bilirlerdi ve Altın Oran'ın fiziksel ve biyolojik dünyamızın kurulmasındaki önemli yerini anlamışlardı
Bir beşgenin köşegenlerini birleştirdiğimizde, iki değişik Altın Üçgen elde ederiz. Mavi üçgenin kenarları tabanı ile ve kırmızı üçgenin tabanı da kenarı ile Altın Oran ilişkisi içerisindedir.

PHI, kendini tekrarlayan bir özelliğe de sahiptir. Altın Orana sahip her şekil, Altın Oranı kendi içinde sonsuz sayıda tekrarlayabilir. Aşağıdaki şekilde, her beşgenin içinde meydana gelen pentagramı ve her pentagramın oluşturduğu beşgeni ve bunun makro kozmik ve mikro kozmik sonsuza kadar Altın Oranı tekrarlayarak devam ettiğini görebiliriz.

Beşgen, Altın Oranı açıklamak için oldukça basit ve iyi bir yöntem olmakla birlikte, bu oranın belirtilmesi gereken çok daha karmaşık ve anlaşılması zor bir takım özellikleri de vardır. Altın Oran daha iyi anlaşıldıkça, biyolojik ve kozmolojik birçok büyük uygulama örnekleri daha iyi görülebilecektir.

Büyük Piramit ve Altın Oran

Büyük Piramit ve Altın Oran

Yukarıdaki diagram, Altın Oran'ın bir çember yarıçapı üzerinde nasıl bulunabileceğini gösterir. Kenar uzunluğu dairenin yarıçapına eşit olan FCGO karesinin FC kenarının orta noktası olan T'den GO kenarının orta noktası olan A'ya dik çizilen bir çizgi ile ikiye bölünmesinden elde edilen TCAO dikdörtgeninin köşegenini (AC) bir ikizkenar üçgenin kenarlarından biri olarak kabul edip ABC üçgenini oluşturursak, üçgenin yüksekliğini 1 kabul ettiğimizde (ki bu dairenin yarıçapıdır) COB üçgeninin OB kenarı, Altın Oran olan 1.618034 olur.
Bir trigonometrik cetvelden baktığımızda, OCB açısının 31"43' ve dolayısıyla OBC açısınında 58"17' olduğunu buluruz. Yukarıdaki diyagram önemini korumak şartıyla bizi başka bir konstrüksiyona götürür ki, bu belki de Mısır'lı rahiplerce çok daha önemli bulunmuş olabilir.

Yukarıdaki diagramda, üçgenin dik açıya ortak kenarlarından biri yine yarıçapın 0.618034'üdür fakat bu defa 1'e yani yarıçapa eşit olan komşu kenar değil, hipotenüstür. Yine bir trigonometrik tablo yardımıyla, 0.618034'ün karşı açısının 38"10' ve diğer açının da 51"50' olduğunu görürüz. Pisagor Teoremini kullanarak, OD kenarının uzunluğunun da yarıçapın 0.78615'i olduğu görülür.
Bu konstrüksiyonda onu özel yapan iki önemli nokta vardır. Birincisi; ED kenarının uzunluğu (0.618034) OD kenarının uzunluğuna (0.78615) bölünürse sonuç OD kenarının uzunluğuna (0.78615) eşit çıkmaktadır. Trigonometrik ilişkiler açısından bu şu anlama gelmektedir: 38"10' un tanjantı (karşı kenar ÷ komşu kenar), 38"10' un cosinüsüne (komşu kenar ÷ hipotenüs) eşittir. Tersi, 51"50' nin kotanjantı, 51"50' nin sinüsüne eşittir.
İkinci ve belki en önemli husus: OD kenar uzunluğu (0.78615) 4 ile çarpıldığında 3.1446 yı verir ki bu, hemen hemen Pi'ye (3.1416) eşittir. Bu buluş, 38"10' açıya sahip bir dik üçgenin Pi oranı ile Altın Oran fenomeninin çok özel ve ilginç bir kesişimini kapsadığını ortaya koymaktadır.

Kadim Mısır Krallığı döneminin rahipleri bu üçgenin özelliklerinden haberdar mıydılar? Bu diagram Büyük Piramit'in dış hatlarını göstermektedir. Bilinçli olarak ya da değil, bu piramit 38"10' lık bir üçgeni ihtiva edecek biçimde inşa edilmiştir. Yüzeyinin eğimi, çok kesin bir şekilde yerle 51"50' lık açı yapmaktadır. Bu piramit kesitini bir önceki ile kıyaslarsak, BC uzunluğunun yarıçapın 0.618034'ü olduğunu, AB uzunluğunun 0.78615 olduğunu ve AC uzunluğunun 1 yani yarıçap olduğunu görebiliriz.
Keops Piramidi'nin gerçek ölçüleri şöyledir (feet ölçüsünden metreye çevrilmiştir): AB=146.6088m BC=115.1839m AC=186.3852m).
Bu XXX noktadan itibaren işler biraz karmaşık ama çok çok ilginç bir hale gelmektedir.
Görüleceği gibi, BC uzunluğu, piramitin kenar uzunluğunun yarısıdır. Bu nedenle piramitin çevresinin uzunluğu BC x 8 dir. Yani piramitin relatif çevresi 0.618034 x 8 = 4.9443 dür. Yine piramitin relatif yüksekliği 0.78615 in bir çemberin yarıçapı olduğu farzedilirse bu çemberin uzunluğu (çevresi) yine 4.9443 olacaktır.
Bu beklenmedik uyum şu şekilde gerçekleşmektedir:
1)38"10'lık üçgene gore 0.618034 ÷ 0.78615 = 0.78615 dir (yukarıda bahsedilmişti). Demek ki, 8 x 0.618034 olarak belirlenen piramit çevresi 8 x 0.78618 x 0.78615 şeklinde de gösterilebilir.
2)Yine yukarıda, 4 x 0.78615 in Pi (Π) ye çok yakın bir değer verdiğini söylemiştik. Demek ki 2Π' nin de 8 x 0.78615 e çok yakın bir değer olduğu görülür. Böylelikle, yarıçapı 0.78615 olan bir dairenin çevresi şu şekilde ifade edilebilir: C=2πr= (8 x 0.78615) x 0.78615

Bundan şu sonuç çıkmaktadır: Büyük Piramit, yatay bir düzlem üzerinden ölçüm yapıldığında sahip olduğu kare şeklindeki çevre uzunluğunun aynına, düşey bir düzlem üzerinde yapılan ölçümde de bu defa daire şeklinde olmak üzere sahiptir.
Birkaç ilginç bilgi olmak kaydıyla şu gerçeklere de kısaca bir göz atalım: Keops Piramidi'nin gerçek taban kenar uzunluğunun (230.3465m) 8 katı ya da çevre uzunluğunun iki katı, boylamlar arasındaki 1 dakikalık açının ekvatordaki uzunluğunu vermektedir. Piramitin kenar uzunluğunun, ekvatordaki 1 dakikalık mesafenin 1/8 ine eşit olması ve piramit yüksekliğinin 2 nin 1/8 ine eşit olması korelasyonunu irdelememiz, örneklemeyi evrensel boyutlara taşıdığımızda, dünya ile evrenin Pi ve Altın Oran sabitlerinin ilişkilerini algılamada küçük bir girişim, samimi bir başlangıç sayılabilir.
Şunu akılda tutmak gerekir ki; piramitin kenar uzunluğunun 230.3465m olması tamamen tesadüf de olabilir. Fakat karşılıklı ilişkiler yenilerini doğuruyor ve bunlara yenileri ekleniyorsa, bu korelasyonların kasti düzenlenmiş olduğu ihtimali de ciddi olarak dikkate alınmalıdır.

Doğada Altın Oran

Altın Oranın Özgünlüğü 

Altın oranı ters değeri ile karşılaştırıldığında ilginç bir sonuç ile karşılaşılır. Kendisinden “1”  çıkarıldığında kendi ters değerini veren yegane sayıdır.   *                                                           

Altın oran = 1.618 Ters değeri = 0.618 

Bununla beraber altın oran kendisine “1” eklendiğinde kendi karesini verir. Bu da aynı şekilde başka hiçbir sayıda rastlanmayan bir niteliktir.  

Altın Dikdörtgen 

Altın orana göre organize olmuş bir dikdörtgen, içinde “kare” gibi kesin bir görsel dengeyi barındırır. Ve altın dikdörtgenin özelliği şudur ki onun içindeki bu kareyi bulduğunuzda geride kalan altın oranlarda bir başka dikdörtgendir. Yani büyük altın dikdörtgenin küçük bir modeline ulaşılır. Böylece karenin görsel uyumu, armonisini sadece altın dikdörtgende bulabiliriz. Altın dikdörtgenin bir kenarı 1 birimken diğer kenarı 1.618 birimdir. Yani altın oran söz konusudur. Bu altın bölümlü altın dikdörtgende büyük dikdörtgen ile küçük dikdörtgenin köşegenleri 90 derecelik dik açı oluşturur. Altın dikdörtgen oluşturmanın yollarında biri de şudur: İstediğiniz kenar uzunluğunda bir kare belirleyin. Bu karenin köşegenlerinden birisini yay şeklinde alt kenarla doğrusal ilişki kuracak şekilde indirin. Altın dikdörtgenin ölçüleri belirlenmiş oldu. 

İç İçe Yuvarlanan Altın Dikdörtgenler 

Sonsuz sayıda Altın Dikdörtgen’i bu uygulamada üretemeyeceğimizden (ki gerçekte sonsuz devam edebilir) artık bir nokta haline gelen 0 limit dikdörtgenine geldiğimizde işlemi sona erdiriyoruz. 0 limit noktasının şöyle bir özelliği vardır, logaritmik sarmal denilen türden bir eğrinin sabit kutup noktasını oluşturur

Doğada Altın Oran

Zoolojide Altın Sarmal 

Logaritmik sarmal, içerdiği yaylar daima “aynı biçimde” olan, yani yayların büyüklükleri artarken şekilleri aynı kalan yegane düzlem eğridir. Doğada çeşitli yumuşakçaların kabukları, büyüme süreçlerinde logaritmik sarmalın bu özelliğini izler. Bir deniz kabuğunun büyüme sürecinde, aynı ve değişmez orantılara bağlı olarak genişlemesi ve uzamasından daha sade bir sistem düşünemeyiz; nitekim doğa da son derece basit olan bu yasayı izler. Kabuk giderek büyür, fakat şeklini değiştirmez. İşte sabit kalan bu büyüme göreceliğinin ya da form özdeşliğinin varlığı, eşit açılı (logaritmik) sarmalın özünü ve belki de tanımının esasını oluşturur. Kabuklu bir deniz canlısı olan Nautilus Pompilius’ u çizgileri ve yüzey hacimleri bakımından güzel bir ‘’gnomon (logaritmik sarmal) tarzı büyüme‘’ gösteren bir örnek olarak verebiliriz. Bazı deniz havyalarının logaritmik sarmalının büyüme oranları şöyledir: 

Haliotis Parvus S = Φ , S⁴ = Φ⁴     

Dolium Perdix, S = √Φ   , S⁴ = Φ² 

Murex, Fusus Antiqus, Scalaria Pretiosa ve Solarium Trochleare S = ⁴√Φ , S⁴ = Φ oranlarındaki logaritmik sarmalın tanımladığı çeşitli kabuklar taşıyorlar. Bu kabuklular dışında eşit açılı sarmal tarzı oluşum antilop, yaban keçisi, koç ve bunun gibi hayvanların boynuzlarının gelişme çizgilerinde görülür. Filler gibi soyu tükenmiş olan mamutların dişleri aslanların tırnakları ve papağanların gagalarında da logaritmik sarmal kökenli yay parçalarına göre biçimlenmiş örneklere rastlanır. Bir başka hayvan sınıfı olarak örümcekleri araştırdığımızda, Eperia Örümceği’ nin ağını daima bir logaritmik sarmal şeklinde ördüğünü öğreniriz. Mikroorganizmalardan planktonlar arasında planktonlar arasında globigeringe, planorbis, vortex, terebra, turritellae ve trochida gibi mikro canlıların hepsinin eşit açılı sarmala göre inşa edilmiş bedenleri olduğunu görüyoruz. Birçok virüs de doğada altın oranlara göre formlar gösterirler (Adeno Virüsü, Rhino Virüsü). 

Anatomide Phi 

Phi oranının insan bedeninde ve iskeletinde de ortaya çıktığını gösteren birçok çalışma bulunuyor. Doğadaki ortalama ya da ideal insan bedeni ölçümleri her zaman tartışmaya açık olan bir konu olsa da yaklaşık değerlerden varılan çeşitli ideal orantıların resim ve heykel gibi sanat dallarındaki insan bedeni betimlemelerinde kullanıldığı da bir gerçektir. Bunlar arasında özellikle tüm beden boyunun yerden göbeğe kadar olan yüksekliğe oranı eski Mısır rölyeflerinde modern dönem sanatına kadar tamamıyla Phi değerindedir. Yani insanı bir dikdörtgen içine yerleştirirsek, boy ölçüleri açısından göbek noktası dikdörtgen içindeki bir karenin üst çizgisini oluşturur. Geride kalanın bu kareye oranı 0.61803 olur yani tüm bedenin boyunun göbek çizgisine kadar olan alt yüksekliğe oranı 1.618’dir. Omuz başından başın üst kısmına kadar olan ölçü ile omuz başı ile göbek noktası ile diz arasındaki mesafeye oranı da altın orana tekabül eder. Ayrıca bu mesafelerin içinde kalan uzuvların diğer alt parçaları arasında da aynı ilişki söz konusudur. Elin bileğe kadar olan uzunluğu 1.618’e bölündüğünde ilk boğumun uzunluğuna eşit bir rakam çıkar. Bu iki boğumun uzunluğuna 1 dersek, phi üstü eksi bir, 1 , phi orantısında üç terimli bir dizi oluşur. İç organlara gelince. İç kulakta ses titreşimlerinin aktarma işlevini gören ve içi sıvı dolu olan kemiksi cochlea’nın 73 derecelik sabit açılı logaritmik sarmala uygun yapısı vardır. Bu organa bu nedenle salyangoz da denir. Ve bu organın işitme duyusundan bedendeki denge duygusunu sağlamasına kadar içinde barındırdığı altın oran ile mistik şiirsel bir nitelik oluşmasına yol açar. Doktor A. L. Goldberger’in 1985 yılında yaptığı araştırmalar da akciğerlerin yapısında Phi oranının varlığını ortaya koydu. 

Doğada Beşli Simetri 

Eşit kenarları olan bir beşgen çizersek ve iki uzak köşenin mesafesini iki yakın köşenin mesafesine bölersek çıkan rakam altın orana denk gelir. Doğanın beşli simetri düzen şeklinde biçimlendirdiği birçok cins çiçek ile bazı deniz hayvanları vardır: Deniz yıldızları, asterinalar gibi derisi dikenliler, çan çiçeği, ekşiyonca veya Cezayir menekşesi… Bitkilerin su ve organik maddeleri gerekli kısımlara aktaran “iletim dokusu” gövde boyunca demetler halinde uzanır. Demetlerin, iletim dokusunu oluşturan unsurların diziliş şekillerine göre çeşitli tipler halinde belirlendiğini görürüz. İşte bu demet tiplerinden biri de beş kollu yıldız tarzı bir dizilişi içeren ışınsı demettir. Tüm bu simetrik beşgenler kendi içlerinde altın oranı içerirler. 

Sonuç 

Doğa kendi içinde mikrokozmos – makrokozmos ilişkisi taşıyan bir bütündür. Her varlığı aynı doğa yasaları yönetir. Bu yasalar onun şekli ile birlikte yaşamsallığını da belirler. Bu ilişkiler ancak değişmez bir uyum yasası ile mümkündür. Doğa her zerresinde uyum ve armoniyi arar. Aksi olsaydı sanat var olamazdı. Çünkü sanat doğayı ve doğanın zekasını taklit eden insan aktivitesidir. Sanat uyum ve estetik ölçülerini, kuramlarını doğanın bu mükemmel uyum yasası ile belirlenmiş oranlardan çıkarır. Ve diyebiliriz ki bir yerde yasa ve uyum varsa orada düzen vardır; ve bir yerde düzen varsa orada İrade ve Zeka vardır. İnsan olarak bizim küçük zekamız , doğanın, kozmosun kapsayıcı zekasının küçük bir modeli ve parçasıdır. Onunla bütünü kavramanın yolu, kendi özelliklerini tanımaya çalışmaktan geçer.

ALTIN ORAN VİDEOLAR